Fonction mesurable \(f:(E,\mathcal A)\to(F,{\mathcal B})\)
L'image réciproque de tout mesurable est un mesurable (//continuité). $$\forall B\in{\mathcal B},\quad f^{-1}(B)\in\mathcal A$$
- si \({\mathcal B}=\sigma(\mathcal C)\), alors il suffit de vérifier que la condition est validée pour tout \(C\in\mathcal C\)
- si \(\mathcal A={\mathcal B}(E)\) et \({\mathcal B}={\mathcal B}(F)\), on dit que \(f\) est borélienne
- toute fonction continue est borélienne
- le caractère mesurable est conservé par la composition
- si \(f_1,f_2\) sont mesurables, alors \(f_1+f_2\), \(f_1f_2\), \(f_1\lor f_2\), \(f_1\land f_2\), \(f_1^+\) et \(f_1^-\) sont mesurables, et \((f_1,f_2)\) est mesurable sur la tribu produit
- si \(\forall n\geqslant0\), \(f_n:(E,\mathcal A)\to({\Bbb R},{\mathcal B}({\Bbb R}))\) est mesurable, alors \(\inf_n f_n\), \(\sup_nf_n\), \(\varliminf_nf_n\) et \(\varlimsup_nf_n\) sont mesurables dans \(({\Bbb R},{\mathcal B}({\Bbb R}))\)
- si \((f_n)_n\) est une suite de fonctions mesurables qui converge simplement vers \(f\), alors \(f\) est mesurable
Continuité (topologie),
Tribu,
Tribu borélienne
